,
(11)
Приближенное решение этой системы будем искать методом Рунге-Кутта, используя зависимости (9). При этом роли 
и 
в уравнениях (9) будут исполнять их значения:
,
.
Примем: h=0,1; 
, 
. При i=0 находим:
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Следовательно, при t1=0,1, имеем:
; 
Продолжая процесс вычислений для других значений ti, последовательно можем определить все интересующие нас значения 
.
Приближенное решение ДУ при заданных граничных условиях (краевых задач)
Рассмотренные выше приемы решений обыкновенных дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях в одной точке получены путем последовательного интегрирования уравнения по участкам, на которые может быть разбит весь интервал задания подынтегральной функции. В краевой задаче, когда для дифференциального уравнения заданы граничные условия в различных точках, необходимо получить решение в виде общего интеграла. Для решения таких более сложных задач существуют различные способы. Мы рассмотрим лишь некоторые из них, позволяющие свести решения краевых задач к рассмотренным выше задачам Коши.
16.6.1 Метод начальных параметров
Метод начальных параметров основан на дополнении поставленных для краевой задачи граничных условий в начале участка интегрирования некоторыми параметрами, называемыми начальными. Эти параметры выбирают так, чтобы полученная при этом совокупность начальных условий полностью определяла решение поставленной задачи.
Пусть дана краевая задача для системы n линейных дифференциальных уравнений первого порядка.
(12)
с граничными условиями на концах интервала [0, l]
;
(13)
где 
– вектор неизвестных у1(х), y2(х), ., уn(х);
А(х) – матрица коэффициентов при неизвестных;
– вектор свободных членов;
– векторы постоянных интегрирования.
Общий интеграл системы уравнений (3.40) запишем в следующем виде:
(14)
где 
– частное решение матричного уравнения (12), удовлетворяющее всем нулевым начальным условиям 
;
– частное решение соответствующего уравнению (12) однородного уравнения 
, удовлетворяющее начальным условиям 
, где все элементы равны нулю, кроме i-гo, который равен единице; ci – постоянные интегрирования.
Подстановкой полученного по (12) решения в условия (13) получают систему n алгебраических уравнений для определения ci. Найденные постоянные подставляют в (14), откуда находят решение исходной краевой задачи.
16.6.2 Редукция к задаче Коши для линейного ДУ второго порядка
Найдем решение линейного дифференциального уравнения
(15)
удовлетворяющего краевым условиям
;
(16)
где p(x), q(x), f(x) — непрерывные функции; 
— заданные постоянные, причем 
, 
.
Из курса высшей математики известно, что если u=u(x) — частное решение соответствующего однородного уравнения
(17)
то произведение cu, где c – произвольная постоянная, есть общее решение этого уравнения. Тогда общее решение исходного неоднородного уравнения (3.42) y=y(x) будет, равно сумме общего решения см однородного уравнения (17) и частного решения v=v(x) неоднородного уравнения
(18)
Таким образом, искомое решение запишем в виде комбинации
(19)
Потребуем, чтобы первое краевое условие (17) выполнялось для функции y при любом c. Для этого подставим выражение (19) в это краевое условие, в результате чего будем иметь
Такое условие возможно для произвольного c, если будут выполнены равенства
,
.
Следовательно,
; 
(20)
где постоянная 
, при этом
Скачать реферат