Теория управления. Принципы системного анализа

для второго узла

Поступая аналогично с остальными узлами, можем записать математическую модель электрической системы:

(14)

При рассмотрении элементов анализа сетей было дано определение и указан прием построения матрицы инциденций ориентированного графа. Здесь мы получили такую матрицу, занумерованные узлы и элементы сети.

Перейдем к рассмотрению механической системы (рис. 3, 6) в виде фермы, загруженной силой Р. Предварительно отметим существенное отличие этой системы от ранее рассмотренной. В электрической системе сила тока есть скалярная величина, поэтому не имеет значения пространственное расположение резисторов, важен лишь факт их примыкания к данному узлу. Для фермы все иначе: здесь имеет значение не только топология, но и геометрия фермы, а также ориентация внешних сил и реакций связей. Для плоской фермы с шарнирными узлами каждый узел имеет две степени свободы, что определяет 10 степеней свободы для всей совокупности узлов. Однако внешние связи исключают две степени свободы в первом узле и по одной (в вертикальном направлении) – в 4 и 5 узлах. Для учета этого обстоятельства необходимо вычеркнуть соответствующие строки матрицы S, характеризующей степени свободы системы (две строки для первого узла и вторые строки – для 4 и 5 узлов):

(15)

При рассмотрении конечного элемента для электрической системы основным параметром, определяющим связь между фазовыми переменными I и U, было электрическое сопротивление резистора r, а сама связь устанавливалась законом Ома.

В случае фермы фазовыми переменными будут усилия в стержнях N и удлинения стержней, параметром – погонная жесткость, а связь переменных состояния определится законом Гука

Виды конечных элементов

Выше были рассмотрены системы, включающие одномерные симплекс-элементы, при этом функции формы элемента (4) оставались одинаковыми для задач из разных предметных областей. Физическая сущность задачи отображается матрицей жесткости. В электрических системах эта матрица зависит от сопротивлении R, емкостей С, индуктивностей L элементов, составляющих систему. В системах, характеризующих работу строительных конструкций, матрица жесткости непосредственно связана с погонными жесткостями для растянутых (сжатых) элементов, – для изгибаемых элементов и т.д. Для нелинейных систем, например, для схемы «в» (рис. 2), где связь между напором V и расходом J имеет вид , матрица жесткости будет представлять уже не массивы констант, а некоторые функции от напора жидкости.

В случае функции двух переменных х, у используют плоские конечные элементы в виде многоугольников, обычно треугольника и прямоугольника.

Рассмотрим двумерный симплекс-элемент, представляющий собой плоский треугольник (рис. 4).

Интерполяционный полином, аппроксимирующий непрерывную функцию v(x, у) внутри симплекс-элемента, имеет вид

(16)

Рис. 4.Двумерный симплекс-элемент

Для придания этому выражению вида, удобного для применения в методе конечных элементов, будем поступать так же, как это делали на втором этапе п.п. 15.1 [см. формулы (1) .(6)]. Граничные условия будут иметь вид:

при функция v(x, у) примет значение;

при функция v(x, у) примет значение.

Используя формулу (16), получим систему трех уравнений для определения коэффициентов Подставляя эти коэффициенты в полином (16) и проделав необходимые преобразования, аналогичные рассмотренным в п. 15.1, запишем аналогичную (5) формулу

(17)

где функции формы элемента имеют вид:

(18)

Здесь ∆ – площадь треугольника конечного элемента;

– коэффициенты, определяемые путем круговой перестановки индексов выражений:

. (19)

Формулы (16) .(19) будут одинаковыми для всех задач, где используют треугольные симплекс-элементы. Матрицы жесткостей будут зависеть от физической сущности задачи. Рассмотрим это на примере плоской задачи теории упругости. Заметим, что в этом случае каждый узел имеет две степени свободы, поэтому вектор имеет две компоненты vx и каждую из которых определяют по формуле (17).

Деформации внутри конечного элемента можно выразить через перемещения с помощью зависимостей Коши:

Выполняя дифференцирование равенства (17) с учетом обозначений (18), запишем зависимости Коши в матричной форме:

(20)

или

. (20 а)

Для перехода от деформаций тела к напряжениям используем закон Гука при плоском напряженном состоянии:

(21)

или

. (21 а)

Матрицы D и В содержат всю информацию о конечном элементе: матрица D определяет его упругие характеристики а матрица В – геометрические. Остается определить еще одну матрицу (матрицу жесткости К), которая связывает усилия, действующие в узлах конечного элемента, с перемещениями этих узлов. Для записи этой матрицы воспользуемся принципом возможных перемещений, согласно которому при равновесии тела работа внешних сил Р на возможных перемещениях узлов т. е. равна по величине работе внутренних сил на тех же перемещениях: , где – деформация, отвечающая возможным перемещениям; – объем конечного элемента. В результате преобразований получим искомую связь между усилиями в узлах конечного элемента и перемещениями этих узлов: