Теория управления. Принципы системного анализа

Рис. 14. Иерархия проблемы улучшения жилищных условий

Иерархия - есть определенный тип системы, основанный на предположении, что элементы системы могут группироваться в несвязанные множества. Элементы каждой группы находятся под влиянием элементов другой группы и в свою очередь оказывают влияние на элементы следующей группы. Считается, что элементы в каждой группе иерархии (называемые уровнем, кластером, стратой) независимые. Рассмотрим общий вид иерархии.

Рис. 15. Общий вид иерархии

Математически иерархия и ее свойства могут быть описаны следующим образом. На множестве объектов i = {1,2, .,N} определяется иерархическая структура путем задания орграфа G = (i,W), W  i  i, который:

a) разбивает вершины на непересекающиеся уровни :

b) (i,j)W означает, что вес Zi объекта i непосредственно зависит от веса Zi объекта j ;

c) если (i,j) – дуга графа G, т. е. (i, j)W, то объекты i и j находятся на смежных уровнях, т. е. найдется такое k, что i  Vk+1, j  Vk

d) веса Zi объекта i  Vk+1 определяются через веса Zj вершин множества Li = {j | (i,j)  W}  Vk, в которые ведут дуги из вершины i с помощью феноменологически вводимой зависимости:

где ij - вес дуги (i,j) .

2. Принцип дискриминации и сравнительных суждений

Данный принцип реализуется на втором этапе МАИ. Суть его заключается в том, что, используя суждения ЛПР/эксперта и определенные алгоритмы их обработки, устанавливаются веса ij дуг (i,j)W и веса Zj объектов первого уровня ( j  V1 ). Если на первом уровне один объект, то вес его принимается за 1 ( Z1 = 1).

Суждения ЛПР/эксперта являются результатом исследования его структуры предпочтений. При этом исследовании применяется метод парных сравнений, содержание которого состоит в следующем. Пусть задано некоторое фиксированное множество объектов , которые сравниваются попарно с точки зрения их предпочтительности, желательности, важности и т. п. Результаты записываются в виде матрицы парных сравнений .

Результат сравнения отражает не только факт, но и степень (силу, интенсивность и т.п) превосходства. При этом используется шкала относительной важности, выбор которой зависит от следующих требований:

-шкала должна давать возможность улавливать различия в ощущениях людей, когда они проводят сравнение;

-диапазон измеряемой интенсивности шкалы должен соответствовать результатам когнитивной психологии.

Удовлетворяет этим требованиям шкала, приведенная в табл.

Шкала относительной важности

Из шкалы следует свойство гомогенности (однородности) объектов. Это свойство соответствует способности людей сравнивать объекты, которые не слишком сильно отличаются друг от друга. Гомогенность существенна для сравнения объектов одного порядка, т.к. человеческий разум склонен к допущению больших ошибок при сравнении несопоставимых элементов. Когда эта несопоставимость большая, объекты располагаются в отдельные кластеры сравниваемых размеров, что выдвигает идею об уровнях и их декомпозиции.

Пример

Рассмотрим метод парных сравнений на примере покупки дома.

Рис. 16. Иллюстрация к методу парных сравнений

Допустим необходимо оценить предпочтения ЛПР/эксперта на множестве вариантов А, В, С относительно критерия - размера дома. Лучше всего эту задачу свести к заполнению таблицы:

Матрица парных сравнений

Размерность таблицы определяется количеством дуг, которые входят в рассматриваемую вершину. Элементы таблицыrij, i, j = 1, 3 являются количественной оценкой интенсивности предпочтения i - го объекта, находящегося в i - й строке, относительно j - гo объекта, находящегося в j - м столбце, в соответствии с вышерассмотренной шкалой. При этом сравнении ЛПР/эксперту задавался следующий вопрос : насколько один вариант (например А) превосходит по размеру другой вариант (например С)? Ответом ЛПР/эксперта, как следует из таблицы, было следующее суждение: существенное или сильное превосходство.