Теория управления. Принципы системного анализа

После выбора факторов для каждого из них следует определить область, ограничивающую их возможное варьирование, и назначить основной уровень. Если, например, по условиям эксперимента нас интересует диапазон температуры воды от 20 до 60°С, то основной уровень (для середины интервала) составит 40°, нижний уровень 20°, верхний уровень 60°С. Разница значений между верхним и нижним уровнями фактора не может быть больше физически возможной. Например, для температуры обычной воды при нормальных условиях эта разность не может превысить 100°С. При этом интервал варьирования не должен быть меньше ошибки фиксирования уровня фактора, иначе верхний и нижний уровни окажутся Факторы, которые по тем или иным причинам невозможно учесть в эксперименте, необходимо во всех опытах стабилизировать на постоянных уровнях.

Дробный факторный эксперимент

Число опытов в полном факторном эксперименте быстро возрастает с ростом числа факторов. Так, при трех факторах будем иметь 23 = 8 опытов, при 5 факторах – 25 = 32 опыта, а при 8 факторах уже 28 = 256 опытов. Это вызывает необходимость разработки методов отбора части переменных, наиболее существенно влияющих на поверхность отклика. Поэтому, хотя полный факторный план 2k является удобным с точки зрения простоты проведения анализа параметров функции регрессии, тем не менее при большом числе факторов его применяют редко. 0ри трех и более факторах количество опытов можно существенно сократить за счет потери части информации, не очень существенной при построении линейных моделей. Для этого вместо плана 2* следует использовать описанный ниже дробный факторный план 2k-p (2k-pk+1), который предназначен для реализации 2k-p опытов. Для построения дробных планов (реплик) используют матрицы полного факторного эксперимента. Дробные планы создают делением числа опытов полного факторного эксперимента на число, кратное двум. Так получают 1/2 реплики (полуреплику), 1/4 реплики (четвертьреплику) и т. д.

Вначале рассмотрим линейную функцию регрессии, зависящую от трех факторов:

(8)

Для оценки четырех коэффициентов b0 , b1, b2, b3 требуется провести четыре опыта, а проведение полного факторного эксперимента, состоящего из восьми опытов, позволяет несмещенно оценить не только общее среднее b0 и главные эффекты b1,b2, b3, но также и всевозможные взаимодействия первого и второго порядков, т. е. все параметры неполной кубической модели

(9)

содержащей восемь коэффициентов. Следовательно, восемь опытов, поставленных для оценки коэффициентов линейной модели (8), будут содержать в два раза больше информации, чем требуется.

Для оценивания параметров функции регрессии (8) можно построить план, предназначенный для проведения не восьми, а четырех опытов. Для этой цели факторы х1 и х2 следует варьировать, как в плане 22, а в качестве уровня фактора х3 нужно выбрать значение взаимодействия, т.е. х3=х1х2. Получим план, определяемый матрицей, приведенной в табл. 4.

Рассмотрим вопрос построения дробных реплик более подробно. Вернемся к функции регрессии (9). Матрица плана этой модели приведена в табл. 5.

Таблица 4

Рассмотрите эту таблицу более внимательно и обратите внимание, что второй столбец таблицы совпадает с девятым, третий — с восьмым, четвертый — с седьмым, пятый — с шестым. Следовательно, при использовании этого плана нет различий между x0 и x1x2x3; x1 и x2x3; х2 и x1x3; х3 и х1х2, т. е.

(10)

На этом основании можно утверждать, что вместо отыскания оценок восьми параметров функции регрессии (3.10) можно найти оценки лишь четырех смешанных коэффициентов:

(11)

При этом главные эффекты, включая общее среднее, оцениваются независимо друг от друга, но смешиваются соответственно с эффектами взаимодействий второго и первого порядка. Если постулируется линейная модель (8), то эффекты взаимодействий считаются незначительными, а смешанные коэффициенты (11) превращаются в параметры модели (8).

Таким образом, полный факторный эксперимент 23 при постулировании линейной модели можно рассматривать как совокупность двух полуреплик. Представленный в табл. 5 план называют полурепликой или планом 23-1 полученным из полного факторного плана 23 путем приравнивания единице произведения x1x2x3, т.е.

(12)

Это соотношение называется определяющим для данной полуреплики. Другая полуреплика 23-1 получится из определяющего соотношения x1x2x3, т. е. если уровни фактора х3 устанавливать в соответствии с равенством х3= —x1x2.

Обратите внимание на различие в структуре планов, представленных в табл. 4 и 5 (столбцы 2 .4) с одной стороны, и в табл. 3 – с другой. Это различие сделало намеренно и не имеет принципиального значения. Заполнение столбцов 2—5 полного факторного плана может быть произвольным при непременном условии неповторяемости знаков в пределах одной строки. Однако при составлении полуреплик важно, чтобы выполнялось условие (12) или условие х1x2x3= - 1, т. е. для всех опытов данной полуреплики все строки в столбце для x1х2х3 имели одинаковый знак.

Для иллюстрации отмеченных положений рассмотрим конкретный пример. План полного факторного эксперимента и его результаты записаны в левой части (столбцах 1 .6) табл. 5. Требуется составить уравнения регрессий для полного факторного эксперимента я для его дробных реплик, если известно, что функция отклика линейна (либо постулируется ее линейность).

Таблица 5