Применение математических методов в государственной противопожарной службе

Для проверки гипотезы о пуассоновском характере потока вызовов для обследуемого города требуется составить эмпирическое распределение числа вызовов пожарных подразделений на интервале времени длительностью одни сутки.

После этого оценить степень близости полученного эмпирического распределения к предполагаемому теоретическому (к распределению Пуассона). Эта оценка производится при помощи критерия согласия Романовского (R), который позволяет определить, являются ли имеющиеся между распределениями расхождения случайными или закономерными. Критерий Романовского рассчитывается по формуле:

(28)

r - макс. число различных значений или групп значений изучаемого признака.

статистический критерий согласия Пирсона.

При согласовании реального потока вызовов пожарных подразделений пуассоновскому потоку должны выполняться условия:

R < R доп. (29)

где: R доп. - максимально - допустимое значение критерия Романовского, которое равно 3.

Эмпирическое и теоретическое распределения числа вызовов в интервале времени одни сутки

На основании данных таблиц изображается графически полигон частот эмпирического и теоретического распределения числа вызовов пожарных подразделений в интервале времени длительностью одни сутки.

Рис. 2. Полигон теоретического и эмпирического распределения числа вызовов пожарных подразделений на интервале времени длительностью одни сутки.

Графическое изображение этих распределений позволяет сделать предварительный вывод об их согласовании.

Для окончательного вывода следует обратиться к статистическим критериям согласия. В данном случае применяется критерии Пирсона и Романовского.

Сопоставляя критерий Романовского, с допустимым (3), а так же сопоставляя по полигону значения теоретического и эмпирического распределения, очевиден вывод, что эмпирическое распределение с большой степенью точности описывается законом Пуассона и, следовательно, теоретическое распределение может служить моделью эмпирических данных и быть использовано для прогнозирования эмпирических величин и принятия управленческих решений.

Моделирование временных характеристик процесса функционирование противопожарной службы города

Среднее время обслуживания одного вызова в час определяется на основании данных интервального вариационного ряда по формуле:

(ед. времени) (29)

где: mj - эмпирическая частота, представляющая собой число вызовов пожарных подразделений, попадающих в J-й интервал времени;

(tj+tj+1)/2- середина интервала времени;

j - общее число наблюдений (количества вызовов) в исследуемом периоде; r - число выделенных интервалов времени;

tj - время начала J-го интервала;

tj+1- время конца J-го интервала.

Будем рассматривать время обслуживания вызовов tобсл. как непрерывную, случайную величину и исходить из гипотезы о показательном законе распределения времени обслуживания вызовов.

Интервал времени обслуживания Dt, если он не задан, определяется по формуле.

, (30)

где: - соответственно максимальное, минимальное значение времени обслуживания вызовов.

Зная можно определить и число интервалов времени.

Эмпирическая вероятность попадания вызовов для обслуживания в J-й интервал времени определяется по формуле:

(30)

Теоретическая частота fj попадания J-й интервал при общем числе наблюденийj , определяется следующим образом:

fj = (j) Pj {tj _ t обсл _ tj+1} (31)

вызов пожарный математический распределение

Для описания вероятностного распределения случайной величины времени занятости пожарных подразделений обслуживанием вызова с помощью показательного закона распределения необходимо определить значение параметра m, представляющей собой интенсивность потока "освобождений" пожарных подразделений от обслуживания вызовов:

(32)

В соответствии с показательным законом распределения вероятность того, что продолжительность времени занятости пожарных подразделений обслуживанием вызова tобсл окажется меньше заданного значения или не меньше этого значения, находится соответственно по формулам:

Pj {t обсл < t} = 1 - e-mt (33)

Pj {t обсл V t} = 1 - Pj {t обсл < t} = e-mt (34)

При использовании формул (33,34) размерность единиц времени в величинах m и t должна быть согласована.

Вероятность нахождения значений случайной величины tобсл. в заданных пределах tj _ t обсл _ tj+1 вычисляется по формуле: